线性模型

主公式

dadt=[j(ωrωγloss2]a+κsin\large \frac{da}{dt}=[j(\omega_r-\omega)-\frac{\gamma_{loss}}{2}]a+\kappa s_{in}

dNdt=Nτfc+ΓFCAβsic2a42ωng2VFCA2\large \frac{dN}{dt} = -\frac{N}{\tau_{fc}}+\frac{\varGamma_{FCA}\beta_{si}c^2|a|^4}{2\hbar\omega n_g^2V_{FCA}^2}

sout=κa+sinejϕc\large s_{out}=\kappa a+s_{in}e^{j\phi_c }

主要由环内传输的波长(失谐量)和材料的损耗组成,损耗项/2是由于总损耗代表了前向和背向两个方向的总和,单向传播时需要除以2

自由载流子在任何时候功耗下都存在,应计入考虑中,时间和初始状态相关,目前使用最为常见论文中的仿真数据。

输出是微环耦合到直波导的+未耦合入的,一般都会考虑相位的问题,所以是用振幅而不是光场,但一般都是简化部分,直接使用固定相位及光场的。(如果真的能考虑就好了)

各部分计算

ωi=2π/λi\large \omega_i = 2\pi/\lambda_i

γloss=γcouple+γrad+γabs\large \gamma_{loss} = \gamma_{couple}+\gamma_{rad}+\gamma_{abs}

γabs=γabs,lin+γFCA+γTPA\large \gamma_{abs} = \gamma_{abs,lin}+\gamma_{FCA}+\gamma_{TPA}

损耗由三部分组成

  1. 耦合入的损耗,直接关联到耦合系数κ=jγcoupleejϕc\kappa = j\sqrt{\gamma_{couple}e^{j\phi_c}}
  2. 自发辐射损耗:γrad=\gamma_{rad}=
  3. **材料吸收损耗:**本征吸收γabs,lin=2τabs,lin,τabs,lin=205ηlin,ηlin=0.4\gamma_{abs,lin} = \frac{2}{\tau_{abs,lin}},\tau_{abs,lin} = \frac{205}{\eta_{lin}},\eta_{lin}=0.4,TPA产生的吸收γTPA=ΓTPAβsic2a2ng2VTPA\gamma_{TPA}=\varGamma_{TPA}\frac{\beta_{si}c^2|a|^2}{n_g^2V_{TPA}},FCA产生的吸收γFCA=ΓFCAσFCANcng\gamma_{FCA}=\varGamma_{FCA}\frac{\sigma_{FCA}Nc}{n_g}(线性模型忽略这一项?,或者加上N的变化?)

临界耦合情况下:γcouple=γabs,lin+γrad\gamma_{couple}=\gamma_{abs,lin}+\gamma_{rad}

符号 描述 计算公式 数值 单位 参考
βsi\beta_{si}β2\beta_2 TPA常数 - 6 - 7 e-12 m/W Tsang, H. K, Semicond. Sci. Technol 23.6(2008)
σFCA\sigma_{FCA} FCA常数 - 1-1.5e-21 m2m^2 Tsang, H. K, Semicond. Sci. Technol 23.6(2008)
ΓTPA\Gamma_{TPA} TPA限制 - 0.9964 - 2012
ΓFCA\Gamma_{FCA} FCA限制 - 0.9996 - 2012
ATPAA_{TPA} 截面上的TPA面积 - 7.15402e-14/550nm
6.997e-14/500nm
6.99268e-14/450nm
m2m^2 FDTD
AFCAA_{FCA} 截面上的FCA面积 - 3.99072e-27/550nm
3.80021e-27/500nm
3.7855e-27/450nm
m2m^2 FDTD
ηlin\eta_{lin} 耦合系数 - 0.4 - 2012,2013,2020
ngn_g Si群折射率 - 4.3 - MODE
n0n_0 Si有效折射率 - 2.4 - MODE
ρsi\rho_{si} Si材料质量系数 - 2.33e6 g/m3g/m^3 2012
τfc\tau_{fc} 自由载流子寿命 - 5.5 ns 2012

非线性模型

主公式

dadt=[j(ωrω+ωnlγloss2]a+κsin\large \frac{da}{dt}=[j(\omega_r-\omega+\omega_{nl})-\frac{\gamma_{loss}}{2}]a+\kappa s_{in}

dNdt=Nτfc+ΓFCAβsic2a42ωng2VFCA2\large \frac{dN}{dt} = -\frac{N}{\tau_{fc}}+\frac{\varGamma_{FCA}\beta_{si}c^2|a|^4}{2\hbar\omega n_g^2V_{FCA}^2}

dΔTdt=ΔTτth+Γthγabsa2cp,siρsiVth\large \frac{d\Delta T}{dt} = -\frac{\Delta T}{\tau_{th}}+\frac{\varGamma_{th}\gamma_{abs}|a|^2}{c_{p,si}\rho_{si}V_{th}}

sout=κa+sinejϕc\large s_{out}=\kappa a+s_{in}e^{j\phi_c }

非线性扰动计算

ωnl=jωrng[n2cngVKerra2(σr1N1.011+σr2N0.838)+κthΔT]\large \omega_{nl} = -j\frac{\omega_r}{n_g}[\frac{n_2c}{n_gV_{Kerr}}|a|^2-(\sigma_{r1}N^{1.011}+\sigma_{r2}N^{0.838})+\kappa_{th}\Delta T]

  • 参考2013年中科院的文章,将非线性分为克尔(可忽略)、FCA、热光三部分。FCA对折射率的影响计算公式更新于2011年的论文,热光系数论文中都一致,见下表。
符号 描述 计算公式 数值 单位 参考
βsi\beta_{si}β2\beta_2 TPA常数 - 6 - 7 e-12 m/W Tsang, H. K, Semicond. Sci. Technol 23.6(2008)
σFCA\sigma_{FCA} FCA常数 - 1-1.5e-21 m2m^2 Tsang, H. K, Semicond. Sci. Technol 23.6(2008)
ΓTPA\Gamma_{TPA} TPA限制 - 0.9964 - 2012
ΓFCA\Gamma_{FCA} FCA限制 - 0.9996 - 2012
ATPAA_{TPA} 截面上的TPA面积 - 7.15402e-14/550nm
6.997e-14/500nm
6.99268e-14/450nm
m2m^2 FDTD
AFCA2A^2_{FCA} 截面上的FCA面积 - 3.99072e-27/550nm
3.80021e-27/500nm
3.7855e-27/450nm
m2m^2 FDTD
AeffA_{eff} 截面上的有效面积 - 8.4405e-14/550nm
8.63695e-14/500nm
?/450nm
m2m^2 FDTD
ηlin\eta_{lin} 耦合系数 - 0.4 - 2012,2013,2020
ngn_g Si群折射率 - 4.3 - MODE
n0n_0 Si有效折射率 - 2.4 - MODE
ρsi\rho_{si} Si材料质量系数 - 2.33e6 g/m3g/m^3 2012
τfc\tau_{fc} 自由载流子寿命 - 20-60 ns 2021
τth\tau_{th} 热光寿命 - 100-300(270) ns 2021
κth\kappa_{th} 热光 - 1.86e-4 1/K 2012,2013
σr1\sigma_{r1} 自由载流子 - 5.54e-28 m3m^3 2011
σr2\sigma_{r2} 自由载流子 - 1.53e-24 m3m^3 2011

求解不动点

仍然是设定为四项参数(δa\delta a,δa\delta a^*,δN\delta N,δT\delta T),已知稳态解P0,N0,T0P_0,N_0,T_0计算A0A_0(复数)
特征矩阵为:

  • M11=[iω0ng((σr1N01.011+σr2N00.838)+κT0)+i(ω0ω)][cα2ng+βsic2A2ngVTPA+σFCAcN02ng]\large M11 = [-i\frac{\omega_0}{n_g}(-(\sigma_{r1}N_0^{1.011}+\sigma_{r2}N_0^{0.838})+\kappa T_0)+i(\omega_0 - \omega)]-[\frac{c\alpha}{2n_g}+\frac{\beta_{si}c^2|A|^2}{n_gV_{TPA}}+\frac{\sigma_{FCA}cN_0}{2n_g}]
  • M12=βsic2A22ngVTPA\large M12 = -\frac{\beta_{si}c^2A^2}{2n_gV_{TPA}}
  • M13=[iωng(1.011σr1N01.0111+0.838σr2N00.8381)σFCAcng]A\large M13 = [i\frac{\omega}{n_g}(1.011\sigma_{r1}N_0^{1.011-1}+0.838\sigma_{r2}N_0^{0.838-1})-\frac{\sigma_{FCA}c}{n_g}]A
  • M14=iωngκA\large M14 = -i\frac{\omega}{n_g}*\kappa A
  • M21=M12M21 = M12^*
  • M22=M11M22 = M11^*
  • M23=M13M23 = M13^*
  • M24=M14M24 = M14^*
  • M31=2A2Aβsic22ωng2VFCA2\large M31 = 2*|A|^2A^**\frac{\beta_{si}c^2}{2\hbar\omega n_g^2V_{FCA}^2}
  • M32=M31M32 = M31^*
  • M33=1τfc\large M33 = \frac{1}{\tau_{fc}}
  • M34=0M34 = 0
  • M41=γabs,lin+βsic2A2ng2VTPA+σFCAc2N0ngcp,siρsiVthA\large M41 = \frac{\gamma_{abs,lin}+\frac{****\beta_{si}c^2|A|^2}{n_g^2V_{TPA}}+\frac{\sigma_{FCA}c^2N_0}{n_g}}{c_{p,si}\rho_{si}V_{th}}A^*
  • M42=M41M42 = M41^*
  • M43=0M43 = 0
  • M44=1τth\large M44 = \frac{1}{\tau_{th}}