梯度、散度、旋度计算：https://zhuanlan.zhihu.com/p/136836187、https://blog.csdn.net/weixin_48524215/article/details/122110874

麦克斯韦方程组(ME)

麦克斯韦方程组分为积分形式和微分形式,是总结时变电场下的电磁场传播规律，一般的微分形式如下：

  • ∇⋅D⃗=ρ\large \nabla\cdotp\vec{D}=\rho
    • 电场高斯定律: 电位移散度等于空间同一处自由电荷密度
  • ∇⋅B⃗=0\large \nabla\cdotp\vec{B}=0
    • 磁场高斯定律：磁场是无源场，其中任意一点的磁感应强度的散度恒为0
  • ∇×E⃗=−∂B⃗∂t\large \nabla\times\vec{E}=-\dfrac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t}}
    • 电磁感应定律：电场强度的旋度等于磁感应强度随时间的变化
  • ∇×H⃗=j⃗+∂D⃗∂t\large \nabla\times\vec{H}=\vec{j}+\dfrac{\partial{\vec{D}}}{\partial{t}}
    • 安培环路定律：磁场强度的旋度等于引起该磁场的传导电流和位移电流之和

其中，D⃗\vec{D}表示电感应强度（电位移），B⃗\vec{B}表示磁感应强度，E⃗\vec{E}表示电场强度，H⃗\vec{H}表示磁场强度，ρ\rho表示电荷密度，j⃗\vec{j}表示传导电流密度,∂D⃗∂t\dfrac{\partial{\vec{D}}}{\partial{t}}表示位移电流密度。
电场的变化≈\approx一种电流↦\mapsto位移电流

物质方程

物质在场作用下的特性关系。在各向同性的介质中ϵ\epsilon、μ\mu均为常数（标量）、ρ\rho=0，物质方程如下：
j⃗=σE⃗\vec{j}=\sigma\vec{E}
D⃗=ϵE⃗=ϵ0E⃗+P⃗\vec{D}=\epsilon\vec{E}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}
B⃗=μH⃗=μ0H⃗+μ0M⃗\vec{B}=\mu\vec{H}=\mu_0\vec{H}+\mu_0\vec{M}

真空中，ϵ=ϵ0=8.8542×10−12C2/N⋅m2\epsilon=\epsilon_0=8.8542\times10^{-12}C^2/N\cdotp m^2，μ=μ0=4π×10−7N⋅s2/C2\mu=\mu_0=4\pi\times10^{-7}N\cdotp s^2/C^2，P⃗、M⃗\vec{P}、\vec{M}分别为电极化强度和磁极化强度。

边界条件

在介质分界面上的电势的切向分量是连续的，磁感应的法向分量连续；电势的法向分量不连续，磁感应的切向分量不连续，即：
{B1n⃗=B2n⃗E1t⃗=E2t⃗D2n⃗−D1n⃗=σH2t⃗−H1t⃗=K⃗\begin{cases}\vec{B_{1n}}=\vec{B_{2n}}\\ \vec{E_{1t}}=\vec{E_{2t}}\\ \vec{D_{2n}}-\vec{D_{1n}}=\sigma\\ \vec{H_{2t}}-\vec{H_{1t}}=\vec{K} \end{cases}
其中，K⃗\vec{K}为面电流密度

能量密度和坡印廷矢量

根据ME以及单位体积内电磁场做的功（J⃗⋅E⃗\vec{J}\cdotp\vec{E}），可推导出连续性方程：
∂U∂t+∇⋅S⃗=0\dfrac{\partial U}{\partial t}+\nabla\cdot\vec{S}=0
其中，U=12(E⃗⋅D⃗+B⃗⋅H⃗)、S⃗=E⃗×H⃗U=\dfrac{1}{2}(\vec{E}\cdot\vec{D}+\vec{B}\cdot\vec{H})、\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}
代入物质方程，可得完整表达式：

J⃗⋅E⃗=−∇⋅(E⃗⋅H⃗)−μ0H⃗∂H⃗∂t−ϵ0E⃗∂E⃗∂t−μ0H⃗∂M⃗∂t−ϵ0E⃗∂P⃗∂t\vec{J}\cdot\vec{E}=-\nabla\cdot(\vec{E}\cdot\vec{H})-\mu_0\vec{H}\dfrac{\partial\vec{H}}{\partial t}-\epsilon_0\vec{E}\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}-\mu_0\vec{H}\dfrac{\partial\vec{M}}{\partial t}-\epsilon_0\vec{E}\dfrac{\partial\vec{P}}{\partial t}

无源空间

区域中不存在自由电荷和传导电流，即σ=0\sigma=0、j⃗=0\vec{j}=0，麦克斯韦方程组简化为：
∇⋅E⃗=0\large \nabla\cdotp\vec{E}=0
∇⋅B⃗=0\large \nabla\cdotp\vec{B}=0
∇×E⃗=−∂B⃗∂t\large \nabla\times\vec{E}=-\dfrac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t}}
∇×H⃗=ϵ∂E⃗∂t\large \nabla\times\vec{H}=\epsilon\dfrac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}}

由v=1/ϵμv=1/\sqrt{\epsilon\mu} 以及场论恒等式∇×(∇×F⃗)=∇⋅(∇⋅F⃗)−∇2F⃗\nabla\times(\nabla\times\vec{F})=\nabla\cdotp(\nabla\cdotp\vec{F})-\nabla^2\vec{F} 再结合物质方程可推导出恒等式：
∇2E⃗−1v2∂2E⃗∂t2\large \nabla^2\vec{E}-\dfrac1{v^2}\dfrac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial t^2}=0

∇2B⃗−1v2∂2B⃗∂t2\large \nabla^2\vec{B}-\dfrac1{v^2}\dfrac{\partial^2{\vec{B}}}{\partial t^2}=0

平面波动方程

二阶偏导形式
二阶偏导物理意义
波动方程分离变量求解：https://zhuanlan.zhihu.com/p/376107702

平面简谐波

沿单一方向传播时E⃗\vec{E}、B⃗\vec{B}仅与z,t相关，上述波动方程可简化为：
∂2E⃗∂z2−1v2∂2E⃗∂t2\large \dfrac{\partial^2\vec{E}}{\partial z^2}-\dfrac1{v^2}\dfrac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial t^2}=0

∂2B⃗∂z2−1v2∂2B⃗∂t2\large \dfrac{\partial^2\vec{B}}{\partial z^2}-\dfrac1{v^2}\dfrac{\partial^2{\vec{B}}}{\partial t^2}=0

求得通解形式为：
E⃗=f(zv−t)\vec{E}=f(\dfrac{z}{v}-t)、B⃗=f(zv−t)\vec{B}=f(\dfrac{z}{v}-t)

推导：
上述公式可化为∂2A⃗∂z2−1v2∂2A⃗∂t2\dfrac{\partial^2\vec{A}}{\partial z^2}-\dfrac1{v^2}\dfrac{\partial^2{\vec{A}}}{\partial t^2}
分离变量：A(r⃗,t)=ArAtA(\vec{r},t)=A_rA_t
上式可化为：At∂2Ar⃗∂z2=Arv2∂2At⃗∂t2A_t\dfrac{\partial^2\vec{A_r}}{\partial z^2}=\dfrac{A_r}{v^2}\dfrac{\partial^2{\vec{A_t}}}{\partial t^2}
同时除以AtAzv2\dfrac{A_tA_z}{v^2},并引入两侧恒等−ω2-\omega^2（在此处为恒等式F（x）=C的假设，求解过程与角频率无联系）可得：

∂2Ar∂z2+ω2v2Ar=0\dfrac{\partial^2A_r}{\partial z^2}+\dfrac{\omega^2}{v^2}A_r=0

∂2At∂t2+ω2Az=0\dfrac{\partial^2A_t}{\partial t^2}+\omega^2A_z=0

通解为：Ar=C1exp(iωvz)+C2exp(−iωvz)A_r=C_1exp(i\frac{\omega}{v}z)+C_2exp(-i\frac{\omega}{v}z)、At=C3exp(iωt)+C4exp(−iωt)A_t=C_3exp(i\omega t)+C_4exp(-i\omega t)
合并之后为：A(r⃗,t)=Cexp(±i(ω/v)z∓ωt)A(\vec{r},t)=Cexp(\pm i(\omega/v)z\mp\omega t)
其中ω/v\omega/v简化为k

化为三角函数可得：
E⃗=A⃗cos⁡[ω(zv−t)]\large \vec{E}=\vec{A}\cos[\omega(\frac{z}{v}-t)]
B⃗=A′⃗cos⁡[ω(zv−t)]\large \vec{B}=\vec{A'}\cos[\omega(\frac{z}{v}-t)]
引入波矢量k⃗=kk0⃗\vec{k}=k\vec{k_0}可得：
E⃗=A⃗cos⁡(kz−ωt)\large \vec{E}=\vec{A}\cos(kz-\omega t)
由特殊到一般：
E⃗=A⃗cos⁡(k⃗⋅r⃗−ωt)\large \vec{E}=\vec{A}\cos(\vec{k}\cdotp\vec{r}-\omega t)
复数表现形式为： E⃗=A⃗exp⁡i(k⃗⋅r⃗−ωt)\vec{E}=\vec{A}\exp{i(\vec{k}\cdotp\vec{r}-\omega t)}

其中，A⃗\vec{A}、A′⃗\vec{A'}是电场和磁场的振幅矢量，vv是介质中的传播速度，ω\omega是角频率，余弦[ω(zv−t)][\omega(\frac{z}{v}-t)]是相位。
物理量之间的关系有：
ω=2πv\omega=2\pi v
λ=vT\lambda=vT

平面波的性质

由波函数取散度：∇⋅E⃗=ik⃗⋅E⃗=0\nabla\cdotp\vec{E}=i\vec{k}\cdotp\vec{E}=0
得到：k⃗⋅E⃗=0\vec{k}\cdot\vec{E}=0
同理可得k⃗⋅B⃗=0\vec{k}\cdot\vec{B}=0
且可得：B⃗=1v(k0⃗×E⃗)\vec{B}=\frac{1}{v}(\vec{k_0}\times\vec{E})
表明电矢量和磁矢量的方向均垂直于传播方向，电磁波属于横波。

球面波

  1. 球面波与平面波不同，无所谓传播方向，因此不表示为矢量形式
  2. 球面波的振幅与传播的距离成反比

从能量守恒角度考虑，单位距离上的光强是与平面波相等的，随着传播的扩散，表面积上的能量守恒：I0×4π=Ir×4πrI_0\times 4\pi=I_r\times 4\pi r,而光强与振幅是成正比关系，因此球面波的复振幅方程是：

E⃗=Arexp⁡±ik⃗⋅r⃗\vec{E}=\dfrac{A}{r}\exp{\pm i\vec{k}\cdotp\vec{r}}
+表示发散，-表示汇聚

柱面波

柱面波的表面积公式为：2πrh2πrh，推导过程同球面波

E⃗=Arexp⁡ik⃗⋅r⃗\vec{E}=\dfrac{A}{\sqrt{r}}\exp{i\vec{k}\cdotp\vec{r}}

光波的叠加

两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加，路径不同时，即r不同时：

𝐸＝E1+E2=a1cos(kr1−wt)+a2cos(kr2−wt)=Acos(α−wt)𝐸＝E_1+E_2=a_1cos(kr_1-wt)+a_2cos(kr_2-wt)=Acos(\alpha-wt)

其中A2=a12+a22+2a1a2cos(α1−α2)A^2=a_1^2+a_2^2+2a_1a_2cos(\alpha_1-\alpha_2)、tanα=a1sinα1+a2sinα2a1cosα1+a2cosα2tan\alpha=\cfrac{a_1sin\alpha_1+a_2sin\alpha_2}{a_1cos\alpha_1+a_2cos\alpha_2}

两个频率不同的单色光波叠加
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三角形式与复数形式对比

设函数形式为a(t)=∣A∣cos(ωt+α)、a(t)=Aexp(iωt+α)a(t)=|A|cos(\omega t+\alpha)、a(t)=Aexp(i\omega t+\alpha)，则可得到：

a(t)b(t)=∣A∣∣B∣2[cos(2ωt+α+β)+cos(α−β)]、a(t)b(t)=ABexp(i2ωt+α+β)a(t)b(t)=\dfrac{|A||B|}{2}[cos(2\omega t+\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)]、a(t)b(t)=ABexp(i2\omega t+\alpha+\beta)

可以发现复数形式造成了误差，缺少了一项。